初中:平面解析几何必备公式

时间:2016-10-19 01:27:42 |  春竹羊绒编织

  

  (文/李文龙)

  初三的同学们现在应该学习二次函数了吧。再此之前你必须把平面解析几何的一些常识和公式弄清楚。

  本文将从我们熟知的定理出发,通过一系列证明,最后得出好用的结论。记住这些结论,从初三到高三你就可以自由的畅游在坐标系中,游刃有余。

  以下内容有的很基础,有的则需借助高中知识,对于学生学习水平的要求也不一样,我以精英班★★★,目标班★★和提高班★为要求,每一部分后面会有能力等级的标注。学习★是考试必备的技能,学习★★能让你做题更快,学习★★★可以让你做题方法增多。文章较长,因此 建议先收藏再慢慢学

  目录

  (一)两点之间

  1、求距离★

  2、取中点★

  3、算斜率★★

  4、速求解析式★★

  5、构造圆★★★

  (二)点线之间

  1、距离公式

  ① 利用圆方程 ★★★

  ② 利用斜率关系★★

  ③ 利用相似★★

  (三)两线之间

  1、平行★★★

  2、垂直★★

  (一)两点之间

  在坐标系下给出两个已知的定点可以算出那些东西呢?以下结论不要错过!

  1,求距离 ★

  如下图坐标系中有两点A(x1,y1)和B(x2,y2),求线段AB的长度

  我们分别作水平和竖直线如下图所示,

  可以得到Rt△ABC,其中C(x2,y1),

  这样AC的长为丨x2-x1丨

  由于不知道x2和x1谁大,线段长度为正,因此需要加绝对值。

  同理BC长为丨y2-y1丨。

  根据勾股定理可知

  举例:A(2,1),B(-2,4)则

  这样就免去画图了,一步出答案。因此必须记住这个公式。

  2,取中点 ★

  坐标系中有两点A(x1,y1) 和B(x2,y2),求AB中点C的坐标

  若A和B在x轴同侧,如下图,则y1和y2都大于零

  我们向横轴作垂线,AD=y1,BF=y2,

  四边形ADFB是直角梯形,

  CE是中位线,y=CE=(y1+y2)/2,

  同理都向纵轴作做垂线,可得x=(x1+x2)/2

  若A和B在x轴两侧,如图,y1<0,y2>0

  我们作水平和竖直辅助线如下图:BN=y2-y1,

  CM为△ABN中位线,CM=(y2-y1)/2。

  而EM=-y1

  则y=CE=(y2-y1)/2-(-y1)=(y1+y2)/2。

  同理x=(x1+x2)/2

  因此,给定平面的两点我们就可以求出其中点坐标

  x=(x1+x2)/2

  y=(y1+y2)/2

  就是算术平均数!这在二次函数利用对称轴求对称点很实用,反过来,让你求点A关于点B的对称点也可以利用这个公式。

  3,算斜率 ★★

  如下图,已知A(x1,y1)B(x2,y2),求AB直线解析式的k

  利用待定系数法设AB:y=kx+b,将A(x1,y1)B(x2,y2)带入得

  两式相减并化简得

  这样我们就可以快速求出直线斜率了:纵坐标之差除以横坐标之差注意要对应,若2纵坐标的在前面,则对应的2的横坐标也应该在前面。

  举例,若A(-2,5),B(1,-4),则

  4,速求解析式 ★★

  如下图,已知A(x1,y1)B(x2,y2),求AB直线解析式。

  我相信小伙伴们用待定系数法求这个一定很666,但每次都重复同样的步骤烦不烦?如何快速写出来解析式呢?首先根据上面的推导你已经知道这个直线的斜率k了

  我假设AB上有任意一点C(x,y)则AC的斜率也是k,那么

  由于x1,y1和k是已知数,C(x,y)代表AB上的任意点,故AB的解析式为

  如果用BC算,也可以写成

  举例,若A(-2,5),B(1,-4),则口算可知k=-3

  若利用点A,可得AB解析式为:y-5=-3(x+2)

  若利用点B,可得AB解析式为:y+4=-3(x-1)

  化简完是一样的。这样求解析式可以为我们省去解二元一次方程组,我们知道一个点和一个斜率就可以写出解析式,这种表示解析式的方法我们又称为 “点斜式”

  把解析式写成点斜式有什么好处?

  比如过点A(2,5)的直线与抛物线y=-x²-2x-3只有一个交点,求直线解析式

  我们就可以直接设直线为y-5=k(x-2),然后和抛物线联立,令△=0即可

  5,构造圆 ★★★

  如下图,已知A(x1,y1)B(x2,y2),以A为圆心,AB为半径做圆,求这个圆的表达式

  设C(x,y)是圆上任意一点,我们只需要找到x与y的等式关系即可

  因为AB=AC,而AB的长我们可求,也就是圆的半径r

  整理得

  这就是圆的标准方程

  举例:若A(2,1),B(-2,4),可求AB=5,则以A为圆心,AB为半径的圆的表达式为

  (x-2)²+(y-1)²=5

  同问:掌握圆的表达式有什么用?

  这时候假如让你求某条直线和这个圆相交的问题,就可以转化为直线与圆的表达式联立解一元二次方程求交点的问题了,避免了作几何辅助线,可以把几何问题通过建立直角坐标系转变为代数问题。

  (二)点线之间

  1,距离公式

  给定一个点,和一条直线,比较常见的是求点到直线的距离

  如图所示,已知直线y=kx+b(以下简称直线)和点P(x0,y0)。其中,k,b,x0,y0 都是常数。求P到直线的距离PQ

  下面我将跟大家分享三种求法

  ① 利用圆方程 ★★★

  假设PQ=r,那么以P为圆心r为半径的圆为

  和直线y=kx+b联立,因为直线与圆相切,故只有一个交点,因此这个方程组只有一个解,利用△=0,可以解出r

  但这毕竟用了圆的方程以前没学过,不好理解,那我们换一个。

  ② 利用斜率关系★★

  相信很多同学知道两直线垂直,斜率乘积得-1这个事吧!

  因为PQ和直线垂直,则PQ的斜率为 -1/k,因此PQ的解析式为

  再与直线y=kx+b联立,可得交点Q的坐标,再根据两点之间的距离公式得出PQ的长。

  以上两种思路都涉及到了一点点以前没涉及到的知识(其实也不难理解)。大家可以想想,点是定的,直线是定的,说明距离也是定的,那么有没有现成的点到直线距离公式?我以后直接套公式不就得了?

  当然有!接下来我用初中方法给大家推导

  ③ 利用相似★★

  如下图,过P作x轴的垂线,交直线于A,交x轴与B,设直线与x轴交于C,

  易证△APQ∽△ACB,我们只需要利用四个已知参数k,b,x0,y0表示出线段AP,AC,BC。再通过相似的比例关系可以求出PQ

  我们先求AP

  这里需要注意,直线和点P是任意的,因此A和P的纵坐标不一定谁大,所以线段AP的长度需要加绝对值

  接下来求BC

  最后求AC

  准备工作都做完啦,因为△APQ∽△ACB

  上面这个红色的式子就是点到直线的距离公式,其实很好记

  先把直线y=kx+b变成kx+b-y=0的形式,然后把x和y换成给定点的坐标,

  再除以根号下1+k²,就可以了注意加绝对值。

  举例,求点P(2,3)到直线y=2x+3的距离

  先把y=2x+3变成2x+3-y=0,然后把P(2,3)带入得2×2+3-3=4,再除以根号5即可

  (三)两线之间

  两条线的关系,常考的是平行和垂直

  1、平行★★★

  两条平行线的斜率k相等,截距b不等。这是常识,不多讲了,使我们感兴趣的是两条平行线间的距离怎么求?

  如下图我们想求两平行线之间的距离PQ,因为我们知道点到直线的距离,所以在b2的直线上任取一点P(x0,kx0+b2)。再利用点到直线距离求出PQ即可

  红色的就是两条平行线的距离公式,更好记,用截距的距离除以根号下1+k²

  举例:求y=3x-1与y=3x-7的距离

  2,垂直★★

  两直线垂直只需要知道斜率互为负倒数即可,这个推导方法我之前写过

  戳↓↓↓

  两直线垂直,为什么斜率互为负倒数

  好了,从早上到现在整整敲了8个小时,手也酸了。 今天就先说这些,大家有问题欢迎留言指正。

  如果你觉得对你有用,一定认真整理笔记把这些内容变成自己肚子里的干货!

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